Narodil se 11. března 1976 v Pardubicích, v rodině s bohatou muzikantskou tradicí. Již od svých osmi let se intenzivně věnoval studiu hudby a hře na lesní roh, pod vedením profesora Karla Křenka. První úspěchy na sebe nenechaly dlouho čekat. Za krátký čas se stal vítězem prakticky všech národních soutěží, absolutním vítězem rozhlasové soutěže Concertino Praga (ve 12 letech) a o tři roky později i vítězem Pražského jara.

Od čtrnácti let studoval na Pražské konzervatoři ve třídě profesora Bedřicha Tylšara. V této době se také s úspěchem zúčastnil mnoha mezinárodních soutěží a obdržel mnohá ocenění. Do současného výčtu úspěchů tak patří: Pražské jaro 1991 (III. cena), Mezinárodní rozhlasová soutěž UNESCO (1993), Ženevská soutěž 1993 (II. cena, první neudělena), Soutěž ARD v Mnichově 1994 (I. cena), Markneukirchen 1994 (I. cena), Ocenění Grammy Classic pro Českou republiku 1995, Cena Davidoff 2001, Mostly Classic Award 2002.

Jako sólohornista vystupuje R. Baborák s řadou renomovaných českých i zahraničních těles a dirigentů. Mezi nejznámější bezesporu patří Berlínská, Londýnská, Česká, Mnichovská, Petrohradská a Tokijská filharmonie; Bavorský rozhlas, Bamberští symfonikové, Orchestre National de Lyon, Bachakademie Stuttgart a Mozarteum Salzburg. „Tento umělec je fenomén…“, psaly noviny po jeho výjimečném vystoupení s Bamberskými symfoniky na Mozartově festivalu ve Würzburgu v červenci 2001. Za koncert s Mnichovskou filharmonií vedenou dirigentem Jamesem Levinem obdržel ocenění „TZ – Rose“. Jeho koncerty s Londýnskou filharmonií ve vyprodané St. Alban’s Cathedral a Royal Festival Hall byly publikem a kritikou přijaty s obrovským nadšením. Japonské turné R. Baboráka v létě 1997 bylo natolik úspěšné, že je od té doby pravidelným hostem hudebních událostí v této zemi. Mnohé jeho koncerty byly přenášeny televizní stanicí NHK. V roce 1998 byl pozván dirigentem Seiji Ozawou do orchestru Saito Kinen, který koncertoval u příležitosti zahájení zimních olympijských her v japonském Naganu. Se stejným souborem účinkoval 1. ledna 2000 na novoročním galakoncertu v hlavním městě Tokiu. Od té doby patří R. Baborák mezi stálé členy orchestru.

R. Baborák je mimo jiné vášnivým komorním hráčem. Často hostuje s kvintetem Afflatus (1. cena ze soutěže ARD v Mnichově), ale také i s jinými uznávanými soubory a renomovanými interprety, po celém světě. V roce 1996 byl pozván na festival komorní hudby do japonské Jamagaty a Kitakyushu, který uspořádala International Horn Society. Nově je mu stále častěji nabízena spolupráce na komorních projektech v Paříži (např. k desátému výročí koncertů v zámku Louvre). Jeho repertoár zahrnuje díla různých období, jak virtuózní koncerty barokní a klasické (Förster, Telemann, Mozart, Haydn a jiní), tak i velké romantické a moderní skladby (Weber, Schumann, Saint-Saëns, Strauss, Gliere, Pauer, Marti). Mezi své celovečerní recitály s klavírem často zařazuje skladby L. v. Beethovena, Donzi, Dukase, Nizzi, Hindemita.

Radek Baborák se také zasloužil o rozšíření hornové literatury, neboť sám aktivně přepisuje a hraje díla, která byla původně zkomponována pro jiné hudební nástroje, např. sonáty J. S. Bacha pro violoncello a violu da gamba, které také s velikým úspěchem natočil.
Jako orchestrální hráč začínal v době studií pod taktovkou Karla Bělohlávka. Již v osmnácti letech zastával místo prvního hornisty České filharmonie (spolu se Zdeňkem Tylšarem), které mu bylo nabídnuto zcela výjimečně bez konkurzu. Po dvouletém působení odešel na post sólohornisty do Mnichovské filharmonie pod vedením Jamese Levina, kde setrval do roku 2000. V letech 1998-2000 rovněž vyučoval, po svém předchůdci Hermannu Baumannu na místě hostujícího docenta Nadace Artura Toscaniniho v Boloni. V posledních letech se vyvinul přátelský vztah mezi R. Baborákem a jeho velmi váženým kolegou prof. Hermannem Baumannem, který o nahrávce Rosettiho hornového koncertu prohlásil: „Radek Baborák nás uvádí do slavnostní nálady 18. století. Poslech jeho mazlivého zvuku a lehkost, s níž tvoří jednotlivé tóny, je pro uši mimořádné potěšení. Citlivý a výrazný přednes nechává hornu zpívat. Z jeho interpretace zní přirozená síla a naivní prostota…“